Sensitivitätskennzahlen
Verwendung
Das Risiko eines festverzinslichen Wertpapiers – Schulderbonität und Markteffizienz außer acht lassend – ist die Änderung der Marktzinsen während der Laufzeit (Zinsänderungsrisiko). Das Zinsänderungsrisiko läßt sich grundsätzlich in zwei Komponenten aufspalten, nämlich in das Wiederanlagerisiko und das Kursrisiko.
Dem Wiederanlagerisiko sind alle Rückflüsse (Tilgungen, Zinsen und Zinseszinsen) einer Anlage ausgesetzt, die vor dem Planungshorizont des Anlegers anfallen. Beispielsweise können bei fallenden Marktzinsen die Kuponzahlungen nur noch zu geringeren Zinsen wiederangelegt werden. Übersteigt der Fälligkeitstermin der Anlage den Planungshorizont, besteht zusätzlich noch ein Kursrisiko, da der Kurs während der Laufzeit vom Marktzinssatz bestimmt wird.
Marktzinsänderungen wirken sich auf diese beiden Ertragskomponenten einer Anlage gegenläufig aus: Steigende Zinsen bedeuten einerseits Kursverluste, andererseits steigende Reinvestitionserträge. Die Quantifizierung und das einfache Management dieser Zinsänderungsrisiken und –chancen wird durch die Sensitivitätskennzahlen unterstützt.
Funktionsumfang
Folgende traditionelle Sensitivitätskennzahlen können berechnet werden:
Die Macaulay-Duration beschreibt die Laufzeit der Anlage, nach der sich die beiden gegenläufigen Effekte aus Kursänderung und Wiederanlageerfolg genau ausgleichen. Mit diesem Zeitpunkt als Planungshorizont ist der Anleger immun gegen jegliche Zinsänderungen. Die Macaulay Duration berechnet sich nach folgender Formel:
PV = Barwert
CFi = Cashflow zum Zeitpunkt i
Die Macaulay Duration eines Portfolios berechnet sich als mit den Barwerten gewichteter Durchschnitt der einzelnen Macaulay Durations der Einzelgeschäfte.
Die Modified Duration gibt an, um wieviele Prozentpunkte sich der Wert eines Zinsinstrumentes ändert, wenn sich das Zinsniveau um einen Prozentpunkt ändert. Sie beschreibt somit die Elastizität des Barwerts auf Zinsänderungen. Die Modified Duration entspricht dem Quotient aus Macaulay Duration und (1+r) bzw. wird aus folgender Formel abgeleitet:
Sie wird mit Hilfe des Mittelwerts aus den Differenzenquotienten (positiv und negativ geshiftet) der Barwerte berechnet. Dabei handelt es sich um eine Näherung für die Ableitung (vgl. auch
Die Konvexität beschreibt die Empfindlichkeit des Barwerts gegenüber dem Quadrat der Renditeänderung (Beschreibung der Krümmung der Preiskurve). Sie ist daher genauer als die Modified Duration und ermittelt sich wie folgt:
Folgende Näherungsformel wird im SAP-System für die Konvexität herangezogen.
Für optionale Produkte werden die Kennzahlen Macaulay Duration, Modified Duration und Convexity nicht ermittelt, weil es betriebswirtschaftlich nicht sinnvoll ist.
Der Basis Point Value gibt die Marktwertänderung bei einer Erhöhung der Marktzinssätze in allen Laufzeitbereichen um einheitlich einen Basispunkt (0,01%) an. Hier werden absolute Änderungen beschrieben.
Aktivitäten
Zur Berechnung von Sensitivitätskennzahlen haben Sie grundsätzlich zwei Möglichkeiten. Entweder Sie nutzen die Funktionen der
Ergebnisdatenbank oder Sie wählen Rechnungswesen ®
Bank-Anwendungen ® Risikoanalyse ®
Marktrisikoanalyse ®
Informationssystem ®
Sensitivitätskennzahlen.
Auswirkung von Zinskurveneinstellungen auf Macaulay-Duration, Modified Duration und Convexity:
Dann gilt:
Macauley-Duration = Laufzeit des Cashflows.
Mod-Duration = Laufzeit / ( 1+ Zinssatz * Laufzeit ) = Macauley-Duration / ( 1+ Zinssatz * Laufzeit )
Konvexität = 2 * ( Laufzeit ) ^ 2 / ( 1 + Zinssatz * Laufzeit ) ^ 2
Dann gilt:
Macauley-Duration = Laufzeit des Cashflows.
Mod-Duration = Laufzeit / ( 1+ Zinssatz ) = Macauley-Duration / ( 1+ Zinssatz )
Konvexität = Laufzeit * ( Laufzeit + 1 Jahr ) / ( 1 + Zinssatz ) ^ 2
Dann gilt für alle Fälligkeiten:
Macauley-Duration = Laufzeit des Cashflows
Mod-Duration = Laufzeit = Macauley-Duration
Konvexität = ( Laufzeit ) ^ 2
Oder mit anderen Worten:
Vergleicht man die Zinskurveneinstellungen mit/ohne Continuous-Compouding, stellt man fest, daß die Konvexität unterjährig ohne Continuous Compounding etwa 2x so groß ist wie mit Continuous Compounding. Überjährig aber gibt es einen Zeitpunkt, ab dem die Konvexitäten mit Continuous-Compounding auf einmal größer werden als ohne.
Modifizierte und Macauley-Duration sind mit Contiuous-Compounding gleich groß, ohne Continuous-Compounding unterschiedlich.
Der Grund für dieses Verhalten liegt in den unterschiedlichen Eigenschaften der Zinssätze in den oben genannten drei Fälligkeiten: