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Verwendung

Die Interpolation dient dazu, für eine Zinslaufzeit einer Zinskurve, für die kein Zinssatz vorhanden ist, einen Wert aus den vorhandenen Zinssätzen zu bestimmen. In folgenden Fällen wird interpoliert:

Achtung

Jahresstützwerte, d.h. Stützstellen wie z.B. 1 Jahr, 2 Jahre, die nicht als Referenzzins (Stützstelle) der Zinskurve definiert wurden, werden für die Berechnung der Zerobondabzinsungsfaktoren benötigt.

Beim Renditetyp Parsatz wird der unter Interpolationsgrundlage eingestellte Zinssatz zum gesuchten Zinsdatum gemäß dem gewählten Interpolationsverfahren der Zinskurvenart interpoliert und aus dem interpolierten Parsatz der Zerocoupon und der Zerobondabzinsungsfaktor berechnet. Beim Renditetyp Zerobondrendite wird zunächst der unter Interpolationsgrundlage eingestellte Zinssatz gemäß dem Interpolationsverfahren interpoliert und anschließend daraus der Zerobondabzinsungsfaktor berechnet. Es erfolgt in diesem Fall keine Berechnung eines Parsatzes (Ausnahme: Continuous-Compounding-Zero-Interpolation ist eingestellt).

Bei aktivierter Continuous-Compounding-Zero-Interpolation werden unabhängig vom Renditetyp aus den Zerobondabzinsungsfaktoren Zerobondsätze mit stetiger Verzinsung und Zinsberechnungsmethode ACT/365 berechnet. Als Eingangszinskurve dient die äquivalente Zinskurve ohne Continuous-Compounding, d.h. an den Stützstellen ist eine Zinskurve mit Continuous-Compounding-Zero-Interpolation identisch mit der äquivalenten Zinskurve ohne Continuous-Compounding. Die stetigen Zerobondsätze werden unabhängig vom Interpolationsverfahren immer linear interpoliert. Die Kapitel Zerobondabzinsungsfaktoren und Forward Rates beschreiben, wie aus interpolierten stetigen Zerobondsätzen Parsätze und Nullkuponsätze (in der Zinsberechnungsmethode der Zinskurve) berechnet werden.

Funktionsumfang

Liegt die Laufzeit eines gesuchten Zinssatzes vor der ersten bzw. nach der letzten Stützstelle, wird die erste bzw. letzte Stützstelle übernommen (Extrapolation). Liegt das gesucht Zinsdatum zwischen zwei Stützstellen der Zinskurve, so wird in Abhängigkeit des Parameters Interpolation der Zinskurvenart entweder die lineare Interpolation oder die kubische Spline-Interpolation durchgeführt:

Diese Grafik wird im zugehörigen Text erklärt

  1. Die lineare Interpolation berechnet auf Basis von zwei gegebenen Werten einen gesuchten Wert auf der Geraden zwischen den beiden gegebenen Werten.

Die Interpolation wird wie folgt ausgeführt:

Pt: interpolierter Zinssatz zum Zeitpunkt t

Pt-1: unterer Stützwert zum Zeitpunkt t-1

Pt+1: oberer Stützwert zum Zeitpunkt t+1

dt : Laufzeit des gesuchten Zinssatzes in Tagen

dt-1 : Laufzeit des unteren Stützwertes in Tagen

dt+1: Laufzeit des oberen Stützwertes in Tagen

Diese Grafik wird im zugehörigen Text erklärt
  1. Hierbei erfolgt die Berechnung der Anzahl der Tage immer auf Basis der Zinsberechnungsmethode der Zinskurve (Ausnahme: Continuous-Compounding-Zero-Interpolation ist eingestellt).
  2. Die kubische Spline-Interpolation wird neben der linearen Interpolation verwendet, um "glattere" Zinskurven zu erhalten. "Glatt" bedeutet, daß bei der kubischen Spline-Interpolation mit dem hier implementierten Verfahren stetige Differenzierbarkeit vorliegt, während bei der linearen Interpolation die resultierende Kurve stetig ist. Weiterhin besitzt die aus der kubischen Spline-Interpolation resultierende Zinskurve die Eigenschaft, bei monotonen Ausgangsdaten (z.B. eine normale Zinskurve) die Monotonie zu erhalten.

Das Verfahren kubische Spline-Interpolation verwendet stückweise Polynome dritten Grades, welche durch geeignete Bedingungen an den Stützstellen so verbunden werden, daß die stetige Differenzierbarkeit der Zinskurve gegeben ist. Im Unterschied zur linearen Interpolation gehen bei der kubischen Spline-Interpolation in die Berechnung eines interpolierten Wertes alle Stützwerte mit ein.

Das Verfahren der kubischen Spline-Interpolation liefert bessere Interpolationswerte als die lineare Interpolation. Die kubische Spline-Interpolation ist dadurch aber komplexer, umfangreicher und damit auch laufzeitintensiver als die lineare Interpolation.

Hinweis

Bei der grafischen Anzeige einer Zinskurve werden die Stützpunkte unabhängig vom Interpolationstyp der Zinskurve linear verbunden. Die kubische Spline-Interpolation läßt sich daher nicht in der grafischen Darstellung betrachten.

Beispiel

Zinssätze der Stützwerte:

Tage

Stützwerte

1

5,0 %

30

5,3 %

90

5,6 %

365

6,0 %

1096

6,4 %

 

Gültigkeitsdatum: 1.4.1994
Zinsberechnungsmethode: act/360
Interpolierter Jahresstützwert für die Laufzeit 2 Jahre (731 Tage):

Diese Grafik wird im zugehörigen Text erklärt

 

P731 = 0,062503419

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