FunktionsdokumentationAufbau von Zinskurven

 

Mit dieser Funktion können Sie Zinskurven aufbauen. Eine Zinskurve definiert sich über die ihr zugeordneten Referenzzinssätze. Aus den Marktdaten, die zu den einzelnen Referenzzinssätzen vorhanden sind, baut das System die Zinskurve auf, d. h. es berechnet an den über die Referenzzinssätze definierten Stützstellen Diskontfaktoren und stetig verzinste Zerosätze.

Funktionsumfang

Die Berechnung der Diskontfaktoren führt das System über das Bootstrapping-Verfahren durch. Dieses Verfahren stellt sicher, dass die Diskontfaktoren aus den gegebenen Marktdaten arbitragefrei berechnet werden. Dabei werden vom System folgende Schritte durchgeführt:

  1. Marktdaten finden

    Suchen der Zinssätze zu einem spezifizierten Datum für alle der Zinskurve zugeordneten Referenzzinssätze. Es wird dabei das Verfahren Direktes Zurücklesen unter Angabe eines Höchstalters angewandt:

    • Bestimmung des Lesedatums unter der Bedingung Datum kleiner oder gleich spezifiziertes Datum für die der Zinskurve zugeordneten Referenzzinsen. Dazu sucht das System von dem spezifizierten Datum aus das aktuellste Datum in der Vergangenheit, zu dem Marktdaten vorhanden sind, d. h. das System setzt das Lesedatum ausgehend von dem spezifizierten Datum solange jeweils um einen Tag zurück, bis für mindestens einen zugeordneten Referenzzins ein Zinssatz gefunden wurde.

    • Überschreitet das gefundene Lesedatum das Höchstalter (Lesedatum kleiner als das spezifiziertes Datum minus Höchstalter), dann verhält sich das System so, als wären keine Marktdaten vorhanden. Die Zinskurve wird in diesem Fall nicht aufgebaut.

    • Ist das Lesedatum nicht zu alt, liest das System die für dieses Datum und für alle der Zinskurve zugeordneten Referenzzinsen die vorhandenen Zinssätze aus der Marktdatentabelle und baut mit den am Lesedatum gefundenen Zinssätzen die Zinskurve zum spezifizierten Datum auf. Diese Zinskurve ist dann zum spezifizierten Datum gültig.

      Hinweis Hinweis

      • Das zulässige Höchstalter (in Tagen) legen Sie im Customizing der Marktdaten unter Anfang des Navigationspfads  Stammdaten Navigationsschritt Einstellungen zu Referenzzinsen und Zinskurven Navigationsschritt Zinskurvenarten definieren Ende des Navigationspfads fest.

      • Wenn das System zu einem als erforderlich gekennzeichneten Referenzzins keinen Zinssatz findet, dann wird keine Kurve aufgebaut.

      Ende des Hinweises

  2. Zahlungsbeträge und -zeitpunkte für die zugeordneten Referenzzinssätze berechnen

    Aus den Zinskonditionen der Referenzzinssätze berechnet das System die Zahlungsbeträge und Zahlungszeitpunkte der einzelnen Referenzzinssätze, zu denen Marktdaten gefunden wurden:

    • Beginn der ersten Zinsperiode berechnen:

      Dieses Datum ergibt sich aus dem Gültigkeitsdatum plus Fixing-Periode. Zur Ermittlung der Geschäfts- und Feiertage verwendet das System den am Referenzzins angegebenen Kalender. Falls Sie keinen Kalender angegeben haben, ignoriert das System die Anzahl der Geschäftstage bezüglich Zinsfeststellung, d. h. der Beginn der ersten Zinsperiode ist in diesem Fall gleich dem Gültigkeitsdatum. Der Beginn der ersten Zinsperiode entspricht dem Datum, an dem für das dem Referenzzins zugrundeliegende Zinsgeschäft das Kapital eingezahlt wird.

    • Zahlungstermine berechnen:

      Aus den Angaben Laufzeit/Zeiteinheit und Zahlungsrhythmus am Referenzzins berechnet das System die Zahlungstermine, ausgehend vom Beginn der ersten Zinsperiode.

      Beispiel Beispiel

      Laufzeit: 3 Jahre, Zahlungsrhythmus: jährlich, Beginn der ersten Zinsperiode: 17.5.2011

      Es werden die Zahlungstermine 17.5.2012, 17.5.2013, 17.5.2014 erzeugt.

      Ende des Beispiels.

    • Je nachdem, welche Customizing-Einstellung Sie für das Kennzeichen Verschiebung auf Werktag bei Valuta am Referenzzins gewählt haben, verschiebt das System die im letzten Schritt bestimmten Zahlungstermine auf Werktage gemäß der angegebenen Regel. Die verschobenen Zahlungstermine werden im folgenden Schritt verwendet.

    • Berechnung der Quotienten aus Anzahl Tage geteilt durch Anzahl Tage im Jahr für jede einzelne Zinsperiode des Referenzzinssatzes gemäß der im Customizing am Referenzzins angegebenen Zinsberechnungsmethode. Als Beginn einer Zinsperiode gilt dabei jeweils der Zahlungstermin der vorherigen Zinsperiode (oder Beginn der ersten Zinsperiode, falls die aktuelle Zinsperiode die erste Zinsperiode ist) und als Ende einer Zinsperiode der Zahlungstermin der aktuellen Zinsperiode.

    • Berechnung der einzelnen Zinszahlungen:

      Multiplikation des gefundenen Zinssatzes mit den eben bestimmten Quotienten aus Anzahl Tage geteilt durch Anzahl Tage im Jahr. Abweichend dazu ergibt sich bei einem Zerozinssatz mit einer Laufzeit von länger als einem Jahr der Zinsanteil C der Rückzahlung aus der folgenden Gleichung:

      Mit R: Zerozinssatz, q: Quotient aus Anzahl Tage geteilt durch Anzahl Tage im Jahr.

    • Anschließend setzt das System das Datum der Kapitalrückzahlung auf den Zahlungstermin der letzten Zinsperiode.

  3. Sortieren der Marktdaten

    Das System sortiert die gefundenen Zinssätze nach Laufzeit aufsteigend und berechnet die Diskontfaktoren dann rekursiv in genau dieser Reihenfolge.

  4. Berechnung der Diskontfaktoren

    Jeder Referenzzinssatz stellt zusammen mit dem quotierten Zinssatz implizit einen wohldefinierten Zahlungsstrom von n Zinszahlungen Ci (berechnet im Schritt Zahlungshöhe und -zeitpunkte für die zugeordneten Referenzzinssätze berechnen) samt Rückzahlung von 100 bereit. Die quotierten Zinssätze notieren zu pari, d. h. der Barwert des Zahlungsstroms aller zukünftigen Zahlungen ist gleich seiner Restschuld von 100. Zur Barwertberechnung multipliziert das System jede einzelne Zahlung (Zinsen und Kapitalrückzahlung) mit einem Diskontfaktor di. Sie erhalten die Barwertgleichung (d0 ist dabei normalerweise gleich 1, d0 ist ungleich 1, wenn der Beginn der ersten Zinsperiode ungleich dem Gültigkeitsdatum ist):

    .

    Das System nutzt nun aus, dass die Zinskurve bis zum Zeitpunkt Tn-1 bereits aufgebaut ist, und somit die Diskontfaktoren d0 bis dn-1 der Zahlungszeitpunkte T0 bis Tn-1 bereits bekannt sind. Als bekannt gilt hierbei, dass diese Diskontfaktoren entweder bereits vorher berechnet wurden oder durch Interpolation (Zinskurven-Framework) gewonnen werden können. Zur Berechnung von dn wird obige Gleichung nach dn aufgelöst, wie die folgende Gleichung zeigt:

    Dadurch erhalten Sie Diskontfaktoren für alle von den Referenzzinssätzen vorgegebenen Laufzeiten. Dieses Vorgehensweise wird als Bootstrapping-Verfahren bezeichnet.

  5. Diskontfaktoren für Zerozinssätze mit einer Laufzeit von länger als einem Jahr berechnen

    Für Zerozinssätze mit einer Laufzeit von länger als einem Jahr berechnet das System die Diskontfaktoren abweichend zu obigem Verfahren nach der Gleichung, die in folgender Abbildung dargestellt wird:

    .

    Für Zerozinssätze mit einer Laufzeit von länger als einem Jahr wird demnach eine Compounding-Frequenz von einem Jahr angenommen.

  6. Berechnung des Diskontfaktors d0

    Wenn der Zahlungszeitpunkt T0 für den Diskontfaktor d0 bereits nach allen Zahlungszeitpunkten (Stützstellen) liegt, die bisher in der Zinskurve aufgebaut wurden, nimmt das System an, dass die Continuous-Compounding-Zerozinssätze zwischen der letzten verfügbaren Stützstelle und T0 und zwischen T0 und dem ersten Zinsszahlungstermin gleich sind. Als Stützstelle gilt implizit auch das Gültigkeitsdatum der Zinskurve, an dem der Diskontfaktor immer gleich 1 ist.

    Falls aber eine Stützstelle mit längerer Laufzeit existiert, interpoliert das System d0.

    Beispiel Beispiel

    Der Referenzzins mit der kürzesten Laufzeit in der Zinskurve hat eine Laufzeit von einem Monat, der Zahlungsrhythmus ist monatlich, und der Beginn der Zinsperiode liegt zwei Arbeitstage nach Zinsfixierung (nach dem Gültigkeitsdatum des Zinssatzes).

    In diesem Fall nimmt das System an, dass die Continuous-Compounding-Zerozinssätze zwischen dem Gültigkeitsdatum der Zinskurve / des Zinssatzes und dem Beginn der Zinsperiode und zwischen Beginn und Ende der Zinsperiode gleich sind. Mit dieser Annahme kann d0 vom System berechnet werden.

    Ende des Beispiels.

  7. Auffüllen von Swap-Gaps

    Auffüllen von Swap-Gaps durch Interpolation von Parzinssätzen

    Nicht immer sind dem System alle Diskontfaktoren d0 bis dn-1 bereits bekannt. Sind z. B. einer Zinskurve Referenzzinssätze für 1, 2, 3, 4, 5, 7 und 10 Jahre Laufzeit zugeordnet, dann fehlen die Stützstellen (die Swap-Gaps) bei 6, 8 und 9 Jahren, damit das System die oben angegebene Gleichung anwenden kann. Beispielsweise fehlt zur Ermittlung von d7 der Diskontfaktor d6. EineExtrapolation zur Ermittlung von d6 kann das System noch nicht durchführen, da dies nur auf der fertig aufgebauten Zinskurve möglich ist. Deshalb muss das System diese Lücken auf eine andere Art und Weise füllen. Dies geschieht durch lineare Interpolation, d. h. zur Berechnung des Zinssatzes für 6 Jahre interpoliert das System die Parsätze der Referenzzinssätze mit den Laufzeiten 5 und 7 Jahren linear und taggenau, wie die Gleichung in folgender Abbildung zeigt:

    Es wird in diesem Beispiel angenommen, dass bei allen Zinssätzen einmal jährlich eine Zinszahlung erfolgt.

    Für Laufzeiten Ti der beteiligten Referenzzinssätze ist dabei jeweils die tatsächliche Anzahl von Tagen geteilt durch 365 einzusetzen. Diese Interpolation von Parzinssätzen findet ausschließlich während dem Aufbau der Zinskurve zum Auffüllen der Swap-Gaps statt. Auf der fertig aufgebauten Zinskurve interpoliert das System dagegen nach dem im Abschnitt Interpolation beschriebenen Verfahren. Falls die Zinskonditionen von zwei aufeinander folgenden Referenzzinssätzen unterschiedlich sind, sich also z. B. die Zinsberechnungsmethoden von R5 und R7 unterscheiden, dann berechnet das System zum Zeitpunkt T5 einen zu pari notierenden Zinssatz in der Zinsberechnungsmethode von R7, und setzt diesen Zinssatz in obige Formel ein. Weitere Informationen zur Berechnung von Zinssätzen finden Sie unter Zinssätze aus der aufgebauten Zinskurve berechnen. Damit das System die obige Formel anwenden kann, müssen die Zinskonditionen der beteiligten Zinssätze identisch sein (bis auf die Laufzeit).

    Nach dem Auffüllen der Lücken berechnet das System die noch fehlenden Diskontfaktoren (siehe Berechnung der Diskontfaktoren). Nachdem alle Diskontfaktoren bis zur Stützstelle mit der längsten Laufzeit berechnet worden sind, ist die Zinskurve aufgebaut.