Modell des gleitenden Mittelwerts

Ziel dieses Modells ist die Ausschaltung zufallsbedingter Unregelmäßigkeiten im Verlauf einer Zeitreihe. Es wird das arithmetische Mittel der n letzten Zeitreihenwerte gebildet. Der Mittelwert aus n Werten kann zu jedem Zeitpunkt nach Formel (1) berechnet.

Der neue Mittelwert ergibt sich also aus dem vorhergehenden Mittelwert und dem aktuellen Wert, gewichtet mit 1/n, minus dem ältesten Wert, gewichtet mit 1/n.

Dieses Verfahren ist nur bei konstanten Zeitreihen sinnvoll anwendbar, d.h. bei Zeitreihen, die keinen trend- oder saisonförmigen Verlauf aufweisen. Da alle Vergangenheitswerte mit dem Faktor 1/n gleich gewichtet werden, dauert es exakt n Perioden, bis sich die Prognose an eine eventuelle Niveauänderung anpassen kann.

Modell des gewichteten gleitenden Mittelwerts

Eine Verbesserung des Modells des gleitenden Mittelwerts erzielen Sie durch Einführung von Gewichtungsfaktoren für die einzelnen Vergangenheitswerte. Bei dem Modell des gewichteten gleitenden Mittelwerts wird jeder Vergangenheitswert mit dem Faktor R gewichtet. Die Summe der Gewichtungsfaktoren ergibt 1 (siehe unten Formeln (3) und (4)).

Wenn die zu prognostizierende Zeitreihe trendähnliche Schwankungen enthält, erzielen Sie mit dem Modell des gewichteten gleitenden Mittelwerts bessere Ergebnisse als mit dem Modell des gleitenden Mittelwerts. Grund: Die jüngste Vergangenheit geht prozentual stärker in die Mittelwertbildung ein als die ältere, wenn Sie die Gewichtungsfaktoren entsprechend gewählt haben. Daher erfolgt eine schnellere Anpassung an eine Niveauänderung.

Dieses Modell ist jedoch stark von der Wahl der Gewichtungsfaktoren abhängig. Ändert sich die Charakteristik der Reihe, müssen Sie auch die Gewichtungsfaktoren entsprechend anpassen.

Modell der exponentiellen Glättung 1. Ordnung

Die Grundgedanken dieses Modells sind:

Das Gewicht der Zeitreihenwerte für die Prognose soll mit zunehmendem Alter der Werte abnehmen.

Der Prognosefehler der Gegenwart wird bei den Folgeprognosen berücksichtigt.

Konstantmodell

Aus diesen beiden Überlegungen läßt sich das Konstantmodell der exponentiellen Glättung ableiten (siehe unten Formel (5)). In diesem Fall dient die Formel zur Ermittlung des Grundwerts. Nach einfacher Umformung erhält man die Grundformel der exponentiellen Glättung (siehe unten Formel (6)).

Formeln zur exponentiellen Glättung

Ermittlung des Grundwerts

Zur Ermittlung des Prognosewerts benötigen Sie nur den vorhergehenden Prognosewert, den letzten Vergangenheitswert und den sogenannten Glättungsfaktor Alpha. Dieser Glättungsfaktor gewichtet die Vergangenheitswerte in der Weise, daß die jüngsten Werte stärker in der Prognose berücksichtigt werden als die älteren.

Wie schnell die Vorhersage auf eine Änderung des Zeitreihenverlaufs reagieren soll, hängt von der Wahl des Glättungsfaktors ab. Wird für Alpha0gewählt, ist der neue Mittelwert gleich dem alten. In diesem Fall bleibt ein einmal berechneter Grundwert erhalten, d.h., die Vorhersage reagiert nicht auf die aktuelle Daten. Wird ein Alpha von1gewählt, so ist der neue Mittelwert gleich dem letzten Wert der Zeitreihe.

Sinnvolle Werte für Alpha liegen daher zwischen0,1und0,5. Ein Alpha-Wert von0,5gewichtet die Vergangenheitswerte wie folgt:

1. Vergangenheitswert : 50 %

2. Vergangenheitswert : 25 %

3. Vergangenheitswert : 12,5 %

4. Vergangenheitswert : 6,25 %

Durch einen einzigen Parameter können die Gewichtungen der Vergangenheitsdaten geändert werden. Damit kann relativ leicht auf Veränderungen in der Zeitreihe reagiert werden.

Das oben abgeleitete Konstantmodell der exponentiellen Glättung erster Ordnung ist auf Zeitreihen anwendbar, die keinen trendförmigen Verlauf und keine Saisonschwankungen aufweisen.

Allgemeine Formel der exponentiellen Glättung 1. Ordnung

Auf der Grundlage der oben abgeleiteten Grundformel (6) ergibt sich unter Berücksichtigung von Trend- und Saisonschwankungen die allgemeine Formel der exponentiellen Glättung 1. Ordnung (7). Dabei berechnen sich Grundwert, Trendwert und Saisonindex wie in den Formeln (8) - (10) dargestellt.

Modell der exponentiellen Glättung 2. Ordnung

Weist eine Zeitreihe über mehrere Perioden hinweg eine trendförmige Änderung des Mittelwerts auf, so hinken die Prognosewerte bei dem Verfahren der exponentiellen Glättung 1. Ordnung stets um eine oder mehrere Perioden hinterher. Durch die Methode der exponentiellen Glättung 2. Ordnung kann eine schnellere Anpassung der Prognose an den tatsächlichen Verlauf der Verbrauchswerte erreicht werden.

Das Modell der exponentiellen Glättung 2. Ordnung geht von einem linearen Trend aus und besteht aus zwei Gleichungen (s. Formeln (11)). Die erste Gleichung stimmt bis auf die eingeklammerten Indizes mit der Gleichung der exponentiellen Glättung 1. Ordnung überein. Bei der zweiten Gleichung werden die nach der ersten Gleichung berechneten Werte als Ausgangswerte angesetzt und erneut geglättet.